[Mengen erster Kategorie u.a.] [Studien]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 35: Fasz.409

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Gundelsheim a.Neckar. - 13 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Bl.1 (vom 21.3.1931): Verallgemeinerung eines Satzes von Lusin mit zwei Ergänzungen. Hausdorffs Satz lautet: Ist $y= \varphi(x)$ eine stetige Abbildung des vollständigen separablen Raumes $A$ auf den Raum $B$ (der eine Suslinmenge in einem vollständigen separablen Raum ist). $F(y)$ sei das Urbild von $y \in B, \; F\alpha(y)$ die $\alpha$-te Ableitung von $F(y)$, wobei $\alpha$ die erste und zweite Zahlklasse durchläuft. Wenn es für beliebig großes $\alpha$ stets ein $y\alpha$ mit $F\alpha(y\alpha) \neq \emptyset$ gibt, so hat mindestens ein $F(y)$ die Mächtigkeit des Kontinuums. Bl.2 (vom 1.4.1931) unter der Überschrift \glqq Satz über Suslinsche Mengen (vgl.Steinbach) \grqq: Der Raum $X$ sei separabel und vollständig, der Raum $Y$ beliebig. $C$ sei eine Suslinmenge im Produktraum $(X,Y)$, deren Projektion auf $X$ in $X$ suslinsch ist. Dann ist auch ihre Projektion auf $Y$ in $Y$ suslinsch. (Der Verweis auf Steinbach betrifft G.Steinbach \glqq Beiträge zur Mengenlehre \grqq, Diss. Bonn 1930). Bll.3-4 (vom 6.4.1931): Es wird ein vom Lusinschen verschiedener Beweis des folgenden Satzes gegeben: $X,Y$ seien separable vollständige Räume. In $Z = (X,Y)$ sei $C$ eine Suslinsche Menge, die von jeder der Mengen $(X,y), \; y \in Y$ in höchstens abzählbar vielen Punkten geschnitten wird. Dann existiert eine Borelmenge $C' \supseteq C$, die auch noch von jedem $(X,y)$ in höchstens abzählbar vielen Punkten geschnitten wird. Bll.5-13 (undatiert) unter der Überschrift \glqq Mengen erster Kategorie \grqq: Definition von \glqq $A$ in $E$ nirgends dicht \grqq; Sätze über nirgends dichte Mengen; Mengen erster und zweiter Kategorie in $E$ (Bezeichnung: $EI, EII$); Sätze über $EI$ und $EII$; Def.von \glqq $A \subseteq E$ ist in $x$ ein $EI$ \grqq; Satz von Banach, daß die Menge der Punkte von $A$, in denen $A$ ein $EI$ ist, selbst ein $EI$ ist (vgl.Fasz.408); Äquivalenz bis auf Mengen erster Kategorie, $\beta$-Mengen; Bairesche Bedingung, $B$-Mengen; Funktionen auf metrischen Räumen; Charakterisierung der Menge der Stetigkeitspunkte; $\alpha$- und $\beta$-Funktionen; Beispiele; charakteristische Funktion von $A$ ist $\beta$-Funktion genau dann, wenn $A$ $\beta$-Menge ist; uniforme Konvergenz; ein Punkt $a$, der Stetigkeitspunkt aller $fn(x)$ ist, ist genau dann Stetigkeitspunkt von $\lim fn$, wenn er Punkt uniformer Konvergenz ist; Limes einer konvergenten Folge stetiger Funktionen ist eine $\alpha$-Funktion; Limes einer konvergenten Folge von $\beta$-Funktionen ist eine $\beta$-Funktion, d.h. die Baireschen Funktionen sind alle $\beta$-Funktionen, die erster Klasse sind noch $\alpha$-Funktionen; Beispiele; $A$-Funktionen und $B$-Funktionen, $\alpha$-Mengen; jede $\beta$-Funktion ist Limes einer Folge von $\alpha$-Funktionen; Darstellung von $\beta$-Mengen durch $\alpha$-Mengen; Verallgemeinerung des Zusammenhangs zwischen $\alpha$- und $\beta$-Mengen einerseits und $\alpha$- und $\beta$-Funktionen andererseits.

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Das Ms.ist beidseitig auf A-4 geschrieben. Bll.5-13 (unter der Überschrift \glqq Mengen erster Kategorie \grqq) stellen ein zusammenhängendes Ms.dar, von Hausdorff seitenweise paginiert: S.1-16. Bl.5r enthält Teile eines privaten Briefes an Hausdorff. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2708983, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2708983

Erfassung: 16. August 1994 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2024-03-29T13:59:23+01:00

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