Reelle Funktionen und Maßtheorie [Vorlesung Univ. Bonn WS 1932/1933]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 17: Fasz.53

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[Bonn]. - 295 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Bll.1-2: Literatur. 3-46: \glqq §1.Einiges aus der Mengenlehre \grqq~ (metrische Räume; $\sigma$- und $\delta$- Systeme; Borelmengen; dichte Mengen; separable Räume; Heine-Borelscher Überdeckungssatz; Mengen erster und zweiter Kategorie; Äquivalenz bis auf Mengen erster Kategorie; $\alpha$- und $\beta$-Mengen; Abbildungen; Stetigkeit; $\alpha$- und $\beta$-Funktionen (Kuratowski); höchstens punktweise unstetige Funktionen; Funktionenfolgen; Bairesche Klassifikation; Charakterisierung der Funktionen der ersten Klasse; $\beta$-Funktionen als Bairesches System). 47-141: \glqq §2.Additive Mengenfunktionen (Masse) \grqq~ (endlich additive und additive ($\sigma$-additive) Mengenfunktionen; Zurückführung additiver Mengenfunktionen auf monotone additive; das Problem der Konstruktion monotoner additiver Mengenfunktionen, Unmöglichkeit der Konstruktion für alle beschränkten Mengen; Caratheodorys Maßtheorie: Einführung von Maßen über äußere Maße, Meßbarkeit, inneres Maß, Nullmengen; Sonderfälle der Caratheodoryschen Theorie: das Lebesgue-Maß, Intervalle als überdeckende Mengen, Überdeckungen mit anderen Mengen als Intervallen; das Lebesgue-Stieltjes-Maß; Beispiele im Lebesgueschen Sinn nicht meßbarer Mengen; der Peano-Jordan-Inhalt; ein allgemeines Prinzip der Konstruktion äußerer Maße in einem metrischen Raum, $q$-dimensionale Maße im $p$-dimensionalen Raum, der Fall $q=1$, Hinweis auf nicht ganzzahlige $q$ (Hausdorff-Dimension); das Lebesgue-Maß im Folgenraum; die Existenz maßtreuer injektiver Abbildungen von Räumen verschiedener Dimension, das Maß im Baireschen Nullraum). 142-184: \glqq §3.Lineare Funktionale (Integrale) \grqq~ (additive Funktionale, Definition des Integrals als additives Funktional auf einem Funktionensystem $\Phi$, Forderungen an das System $\Phi$ der integrablen Funktionen; Darstellung als Differenz zweier monotoner additiver Funktionale; Konstruktion additiver monotoner Funktionale, Übergang vom Maß zum Integral: meßbare Funktionen, punktweise Konvergenz und Konvergenz dem Maß nach, Satz von Jegorow, Satz von Lusin, Treppenfunktionen, Lebesgue-Stieltjes-Integral einer Treppenfunktion, integrable Treppenfunktionen, Definition des Integrals, Integrabilitätsbedingungen, Konvergenzsätze; oberes und unteres Integral, die Riemann-Darboux-Integrale; Integrale über meßbare Mengen). 185-259: \glqq §4.Integration und Differentiation \grqq~ (Ableitung, Stammfunktion, bestimmtes (Duhamel-Cauchy)-Integral; Eigenschaften von Ableitungen; nirgends konstante Funktionen, deren Ableitungen in jedem Intervall Nullstellen haben ($K$-Funktionen); $K$-Funktionen, die in keinem Teilintervall monoton sind; stetige nirgends differenzierbare Funktionen; die vier Hauptderivierten einer Funktion; die Eigenschaften der Derivierten stetiger Funktionen; die Existenz einer Perronschen Oberfunktion zu einer integrablen Funktion; das L-Integral über eine integrable Derivierte; L-Integral als Funktion der oberen Grenze; Zusammenhang zwischen Integralfunktionen, stetigen Funktionen mit beschränkter Schwankung und stetigen Funktionen mit integrabler Derivierter; Funktionen beschränkter Schwankung; totalstetige Funktionen; die Klasse der totalstetigen Funktionen ist mit der Klasse der Integralfunktionen identisch). 260-283: \glqq §5.Die Verteilung der Derivierten \grqq~ (Beweis des Denjoyschen Verteilungssatzes mit Folgerungen). 284-295: \glqq §6.Das Perronsche Integral \grqq~ (Begriff des P-Integrals; Verhältnis von P-Integral und L-Integral; Eigenschaften P-integrabler Funktionen; Dinische Integrale, L-Integral ist kein Dinisches, P-Integral ist ein Dinisches Integral).

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Die Vorlesung ist von Hausdorff nur bogenweise numeriert: 0-73, entspr. Bll.1-295. Nach Bogen 64 liegen zwei keinem Bogen zugeordnete Blätter (Bll.256-257), die inhaltlich an Bl.250 anschließen und eine Ergänzung darstellen. Im Text gibt es zahlreiche Hinweise auf aktuelle Arbeiten. 

Ausreifungsgrad: Hs. Vorlesungsmanuskript 

Pfad: Nachlass Hausdorff

DE-611-HS-2709360, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2709360

Erfassung: 18. Januar 1994 ; Modifikation: 17. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2024-03-29T13:59:25+01:00

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