[Symmetrisch stetige Funktionen] [Studie]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 48: Fasz.1047

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[Bonn], 1933-1934 [12.-14. u.16.6.1933, 22.1.1934]. - 15 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Hausdorff betrachtet reelle Funktionen $f(x)$ einer reellen Variablen, die überall der Bedingung \[ (1) \; \limh \rightarrow 0 [f(x+h)-f(x-h)] =0 \] genügen. Ist $D$ die Menge der Unstetigkeitspunkte einer solchen Funktion, so werden folgende Fragen gestellt: (A) Gibt es Funktionen (1) mit $D$ überabzählbar? (B) Gibt es Funktionen (1) mit $D = R^{1}$? (C) Gibt es charakteristische Funktionen, d.h.solche, die nur die Werte $0$ und $1$ annehmen, die (1) genügen und überabzählbares $D$ haben? Wenn (C) mit ja beantwortet werden könnte, würde eine solche Funktion eine nicht meßbare Menge definieren (Verweis auf Mazurkiewicz, Sierpinski, Fundamenta Math.11 (1928), S.145-150). In einem Zusatz vom 22.1.1934 stellt Hausdorff mit Verweis auf Charzynski, Fundamenta Math. 21 (1933), S.214-225, fest, daß (C) mit nein beantwortet werden muß. Hausdorff gelingt dann folgende Konstruktion: Auf der Menge der rationalen Zahlen kann eine charakteristische Funktion so konstruiert werden, daß (1) erfüllt ist und die Funktion überall unstetig ist. Hausdorff versucht dann eine reelle nicht meßbare Funktion $f(x)$ mit folgender Eigenschaft zu konstruieren: Zu jedem $x$ existiert $\deltax ) 0$ mit $f(x+h) = f(x-h)$ für $0(h( \deltax$. Unter Voraussetzung der Gültigkeit der Kontinuumhypothese könnte die Konstruktion auf ein induktives Verfahren innerhalb der zweiten Zahlklasse zurückgeführt werden; der Induktionsschritt gelingt jedoch nicht. Die oben zitierte Arbeit von Charzynski zeigt, daß er nicht gelingen kann (späterer Vermerk Hausdorffs Bl.14v).

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Vgl.Bem.bei Fasz.1046. Das Ms.ist bogenweise numeriert: a-d, entspr.Bll.1-15. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2708490, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2708490

Erfassung: 31. März 1995 ; Modifikation: 26. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2024-03-29T13:59:22+01:00

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