Algebraische Zahlen [Vorlesung Univ. Leipzig WS 1909/1910]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 22: Fasz.65

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[Leipzig]. - 203 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: Bl.1: Literatur. 2-16: \glqq §1.Die complexen Zahlen von Gauß \grqq~ (ganze Zahlen; Norm; euklidischer Algorithmus; Primzahlen; Einheiten; eindeutige Primfaktorzerlegung; Auseinanderfallen der Begriffe unzerlegbar und prim in anderen quadratischen Körpern, Motivation für die Einführung von Idealen). 17-58: \glqq §2.Algebraische Zahlen u.Zahlkörper \grqq~ (Polynome über dem rationalen Zahlkörper; symmetrische Funktionen; Fundamentalsatz der Algebra; algebraische Zahlen, ganze algebraische Zahlen; Satz von Hurwitz-Kronecker, Satz von Gauß; Einheiten, assoziierte Zahlen; algebraische Zahlkörper endlichen Grades, die Struktur ihrer Elemente; konjugierte Zahlen und Körper; Norm; primitive Elemente; lineare Unabhängigkeit, Körpergrad $m$; Diskriminante von $m$ Zahlen; Ganzheitsbasis, Körperdiskriminante; Index; Beispiele: quadratische Zahlkörper, Körper der $q$-ten Einheitswurzeln ($q$ ungerade Primzahl); konstruktive Verfahren zur Feststellung der Irreduzibilität (Kronecker) und zum Auffinden einer Ganzheitsbasis). 59-92: \glqq §3.Theorie der Ideale \grqq~ (Begriff; Hauptideale; Multiplikation von Idealen, Teilbarkeit; Addition von Idealen; Basis und Diskriminante eines Ideals; Normalbasis; Teilbarkeitsgesetze für Ideale, Primideale, eindeutige Zerlegbarkeit in Primideale; Kongruenzen nach Idealen, die Norm eines Ideals; Darstellung eines Ideals durch zwei seiner Zahlen, Multiplikativität der Norm; Normen von Primidealen, Grad eines Primideals; Äquivalenz von Idealen, Idealklassen; Endlichkeit der Klassenzahl; die Idealklassengruppe; ggT zweier Zahlen, Repräsentant eines Ideals, ideale Zahlen, algebraischer Wert; konstruktive Verfahren zum Auffinden der Normalbasis eines Ideals). 93-117: \glqq §4.Weiteres über Congruenzen \grqq~ (Polynomkongruenzen nach Idealen; Systeme von Kongruenzen; die Eulerfunktion für ein Ideal, ihr Wert für Primideale, ihre allgemeine Bestimmung aus der Primidealzerlegung, Fermatscher Satz; lineare Kongruenzen; Anzahl der Wurzeln einer Polynomkongruenz nach einem Primideal; Wilsonscher Satz; Sätze über Kongruenzen nach einem Primideal, zum Exponenten $a$ gehörige Zahlen nach einem Primideal, Primitivwurzeln; Einschub: Möbiusfunktion, Umkehrformalismus, Anwendung auf die Kreisteilungspolynome; die Höhe einer Zahl und die Gaußschen Perioden einer Zahl nach einem Primideal; der Restklassenkörper nach einem Primideal als Galoisfeld). 118-167: \glqq §5.Primideale \grqq~ (abstrakter Körperbegriff; Charakteristik; Polynome über einem Körper; Polynome in mehreren Unbestimmten; primitive Polynome; Primideale für reguläres $p$; Charakterisierung der Primzahlen, die verzweigt sind; Beispiele: quadratische Körper, Körper der $q$-ten Einheitswurzeln; allgemeine Aufstellung der Primideale unter Einschluß der ständigen Indexteiler). 168-183: \glqq §6.Die Einheiten \grqq~ (Minkowskischer Linearformensatz; Anwendung auf die Ideale eines algebraischen Zahlkörpers; Klassifizierung der Einheiten eines Körpers; Dirichletscher Einheitensatz, Struktur der Einheitengruppe; der Regulator des Körpers). 184-195: \glqq §7.Ein Teil des Fermatschen Satzes \grqq~ ($x^{n} + y^{n} + z^{n} =0$ ist im Körper der $n$-ten Einheitswurzeln in ganzen Zahlen unlösbar, falls $n$ ungerade Primzahl ist, die nicht in der Klassenzahl des Körpers aufgeht). 196-203: \glqq §8.Weiteres über die Differente $\vartheta$ \grqq~ (gebrochene Ideale; das zu einem Ideal gehörige komplementäre Ideal; die Differente).

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Die Vorlesung wurde auch im [WS 1913/14] in Greifswald und im [SS 1928 und WS 1930/31] in Bonn gehalten. Zahlreiche Einschübe und Ergänzungen sind in Fasz.66 zusammengefaßt. Das Ms. ist von Hausdorff bogenweise numeriert: 1-48, entspr. Bll.1-203. 

Ausreifungsgrad: Hs. Vorlesungsmanuskript 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2709338, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2709338

Erfassung: 13. Januar 1994 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2024-03-29T13:59:24+01:00

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