Der Abbildungsraum $Y^X$ [Studie]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 41: Fasz.669

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[Bonn]. - 11 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: $X,Y$ seien metrische Räume derart, daß jede stetige Abbildung $f(x)$ von $X$ in $Y$ beschränkt ist, dann läßt sich der Raum $Y^{X}$ dieser Abbildungen gemäß $\rho(f,g) = \supx \rho(f(x),g(x))$ metrisieren. Auflistung der wichtigsten Fälle, in denen die genannte Voraussetzung erfüllt ist; Bedingungen dafür, daß bei Ersetzung von $X,Y$ durch homöomorphe Räume $X1,Y1$ $Y^{X}$ in einen homöomorphen Raum $Y1^{X1}$ übergeht; Bemerkungen zum Verhältnis von gleichmäßiger und stetiger Konvergenz; Definition folgender drei Äquivalenzrelationen in $Y^{X}$: (1) $f,g$ gehören einer zusammenhängenden Menge $\subset Y^{X}$ an, (2) $f,g$ gehören einem (kompakten) Kontinuum $\subset Y^{X}$ an, (3) $f,g$ gehören einem Peanoschen Kontinuum $\subset Y^{X}$ an; die Äquivalenzklassen sind respektive die Komponenten, die Konstituenten, die Brouwerschen Abbildungsklassen von $Y^{X}$; Zusammenhang von (3) mit der Homotopie, grobe Homotopie; weitere Sätze über spezielle Abbildungsräume: (I) Ist $S$ topologische Sphäre, so sind die Abbildungsklassen von $S^{X}$ mit den Komponenten von $S^{X}$ identisch, letztere sind bogenverknüpft; (II) Sind in $Y1^{X}, Y2^{X}$ die Komponenten bogenverknüpft, so auch die von $Y^{X}$ mit $Y=(Y1,Y2)$; (III) Soll $Y^{X}$ bei beliebigem $X$ bogenverknüpfte Komponenten haben, so muß dies für $Y$ selbst gelten; (IV) Ist $X$ das Cantorsche Diskontinuum, $Y$ kompakt, so ist $Y^{X}$ mit $2^{Y}$ identisch (vgl.Fasz.556).

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Vgl.Bem.bei Fasz.659. Das Ms.ist bogenweise numeriert: 1-3, entspr. Bll.1-11. Hausdorff verweist auf P.Alexandroff, H.Hopf, \glqq Topologie I \grqq, Berlin 1935, S.319, H.Hahn \glqq Reelle Funktionen I \grqq, Berlin 1932, S.222, auf Arbeiten von K.Borsuk, Fundamanta Math. 17 (1931), S.152-170, W.Hurewicz, Proc.of the Section of Sciences Akad.Wetensch.Amsterdam 38 (1935), S.112-119, Eilenberg, Fundamenta Math. 26 (1936), S.61-112, 27 (1936), S.153-190, sowie auf seine eigene Arbeit [35]. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2709271, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2709271

Erfassung: 27. März 1994 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2024-09-27T17:18:11+01:00

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