Duale Gruppen [Studie]  Universitäts- und Landesbibliothek Bonn ; Nachlass Hausdorff

Signatur: NL Hausdorff : Kapsel 43: Fasz.746

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[Bonn]. - 23 Bll.. - Werk

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Inhaltsangabe:   Inhalt: $X,Y,Z$ seien abelsche Gruppen, $X,Y$ bilden (rel.$Z$) ein duales Gruppenpaar. Es sei folgende Bedingung erfüllt: Ist $Y0 \neq Y$ Untergruppe von $Y$, $b \in Y-Y0$, so läßt sich jeder $Z$-Charakter $xy0$ von $Y0$ zu einem $Z$-Charakter $xy$ von $Y$ mit $xb \neq 0$ erweitern. Unter dieser Bedingung beweist Hausdorff rein algebraisch Theorem 3 (S.365) der gen.Arbeit von Pontrjagin. Dann wird $Z$ als L-Raum angenommen. $X$ kann nun auch zum L-Raum gemacht werden, indem man ein Konvergenzsystem einführt, so daß $z=xy$ bei festem $y$ in $x$ stetig ist, und zwar soll $X$ Maximalraum sein. Dann gelten folgende Sätze: (1) Ist $Z$ metrisierbar und kompakt, $Y$ höchstens abzählbar, so ist der maximale L-Raum $X$ ebenfalls metrisierbar und kompakt; (2) $Z$ sei die Einheitskreisperipherie, $Y$ höchstens abzählbar, $X$ der maximale L-Raum der $Z$-Charaktere von $Y$ (nach (1) metrisierbar und kompakt). Ist dann $A$ eine abgeschlossene Untergruppe von $X$ und $(Y,A)=0$ (vgl.bez.der Bez. Pontrjagin a.a.O.), so ist $A=X$; (3) $Z,Y$ wie in (2), $X$ metrisierbar, kompakt, $X,Y$ dual vermöge $z=xy, z$ sei in $x$ stetig bei festem $y$. Dann ist $X$ die Gruppe aller Charaktere von $Y$ und $Y$ die Gruppe aller stetigen Charaktere von $X$. Es folgt noch eine Verschärfung dieses Satzes. (3) ist der Kern der Pontrjaginschen Dualitätstheorie (vgl.auch Fasz.538).

Bemerkung:   Felix Hausdorff  Vgl.Bem.bei Fasz.742. Das Ms.ist bogenweise numeriert: 1-7, entspr. Bll.1-23. Hausdorff bezieht sich auf L.S.Pontrjagin \glqq The Theory of Topological Commutative Groups \grqq, Annals of Math. 35 (2) (1934), S.361-388. 

Ausreifungsgrad: Hs.Ms. 

Pfad: Nachlass Hausdorff

[Inventarnr.: Hs. 1980/4 (Frühere Signatur)]

DE-611-HS-2709356, http://kalliope-verbund.info/DE-611-HS-2709356

Erfassung: 22. November 1994 ; Modifikation: 18. Februar 2014 ; Synchronisierungsdatum: 2025-07-08T16:47:20+01:00

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